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By Christoph Schweigert

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Example text

1 (Cayley). Jede Gruppe G ist zu einer Gruppe von Permutationen der Menge G isomorph. Beweis. F¨ ur g ∈ G definieren wir eine Permutation L(g) ∈ S(G) durch L(g) : x → gx Aus der Assoziativit¨at der Gruppe folgt L(ab)x = (ab)x = a(bx) = L(a)(L(b)(x). Es gilt L(e) = id, und das Inverse ist L(a)−1 = L(a−1 ). Also ist L ein Gruppenhomomorphismus von G in die Permutationsgruppe S(G). Er ist injektiv, denn a ∈ ker L heißt, dass e = L(a)e = a. 6 k¨onnen wir G mit dem Bild unter L in S(G) identifizieren.

Wir leiten daraus den Fixpunktsatz ab: Sei G eine Gruppe der Ordnung pr mit p prim. Operiert G auf einer endlichen Menge X, so gilt |X| = |FixG (x)| mod p . Insbesondere gibt es wenigstens einen Fixpunkt, wenn |X| und p teilerfremd sind. Beweis. Aus (1) folgt |X| − |FixG (x)| = [G : Gr ], . [G:Gx ]>1 Die rechte Seite besteht aus einer Summe von Zahlen der Form pl die linke Seite durch p teilbar: mit l ≥ 1. Also ist auch |X| − |FixG (x)| = 0 mod p . Ist |X| = 0 mod p, so muss auch |FixG (X)| mod p ungleich null sein.

E) und komponentenweisem Inversen bildet eine Gruppe. Sie heißt das (¨außere) direkte Produkt . 2. Sei G eine Gruppe und Ni eine Familie von Normalteilern von G. Dann heißt G das (innere) direkte Produkt von N1 , . . Nm , falls gilt: G = N1 N2 . . N m Ni ∩ (N1 N2 . . Ni−1 Ni+1 . . Nm ) = {e} . Die folgenden Aussagen sind einfach zu beweisen. 2. 1. Das Zentrum eines ¨außeren direkten Produkts ist gleich dem direkten Produkt der Zentren: n n Gi ) = Z( i=1 Z(Gi ) . i=1 2. Das ¨außere direkte Produkt ist eine abelsche Gruppe genau dann, wenn alle Gruppen Gi abelsch sind.

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Algebra [Lecture notes] by Christoph Schweigert

by Anthony

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